Помощь школьнику

Види тригонометричних рівнянь

1. Найпростіші тригонометричні рівняння: Приклад 1.2sin(3x - p /4) -1 = 0 Рішення. Вирішимо рівняння відносно sin(3x - p /4) sin(3x - p /4) = 1/2, звідси по формулі рішення рівняння sinx = а знаходимо 3х - p /4 = (-1) n arcsin 1/2 + n p , n I Z Зх - p /4 = (-1) n p /6 + n p , n I Z; 3x = (-1) n p /6 + p /4 + n p , n I Z; x = (-1) n p /18 + p /12 + n p /3, n I Z Якщо k = 2n (парне), те х = p /18 + p /12 + 2 p n/3, n I Z Якщо k = 2n + 1 (непарне число), те х = - p /18 + p /12 + ((2 p n + 1) p )/3 = = p /36 + p /3 + 2 p n/3 = 13 p /36 + 2 p n/3, n I z Відповідь: х 1 = 5 p /6 + 2 p n/3,n I Z, x 2 = 13 p /36 + 2 p n/3, n I Z, або в градусах: х, = 25° + 120 • n, n I Z; x, = 65° + 120° • n, n I Z Приклад 2. sinx + O з cosx = 1 Рішення. Підставимо замість O з значення ctg p /6, тоді рівняння прийме вид sinx + ctg p /6 cosx = 1; sinx + (cos p /6)/sin p /6 • cosx = 1; sinx sin p /6 + cos p /6 cosx = sin p /6; cos(x - p /6) = 1/2 По формулі для рівняння cosx = а знаходимо х - p /6 = ± arccos 1/2 + 2 p n, n I Z; x = ± p /3 + p /6 + 2 p n, n I Z; x1 = p /3 + p /6 + 2 p n, n I Z; x1 = p /2 + 2 p n, n I Z; x2 = - p /3 + p /6 + 2 p n, n I Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n I Z; Відповідь: x1 = p /2 + 2 p n, n I Z; x2 = - p /6 + 2 p n, n I Z 2. Двочленні рівняння: Приклад 1. sin3x = sinx Рішення. Перенесемо sinx у ліву частину рівняння й отриману різницю перетворимо в добуток. sin3x - sinx == 0; 2sinx • cos2x = 0 З умови рівності нулю добутку одержимо два найпростіших рівняння sinx = 0 або cos2x = 0 x1 = p n, n I Z, x2 = p /4 + p n/2, n I Z Відповідь: x1 = p n, n I Z, x2 = p /4 + p n/2, n I Z 3. Розкладання на множники: Приклад 1. sinx + tgx = sin 2 x / cosx Рішення. cosx ?

0; x ? p /2 + p n, n I Z sinx + sinx/cosx = sin 2 x / cosx . Помножимо обидві частини рівняння на cosx sinx • cosx + sinx - sin 2 x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0; sinx = 0 або cosx - sinx +1=0; x1 = p n, n I Z; cosx - cos( p /2 - x) = -1; 2sin p /4 • sin( p /4 - x) = -1; O 2 • sin( p /4 - x) = -1; sin( p /4 -x) = -1/ O 2; p /4 - x = (-1) n+1 arcsin 1/ O 2 + p n, n I Z; x2 = p /4 - (-1) n+1 • p /4 - p n, n I Z; x2 = p /4 + (-1) n • p /4 + p n, n I Z Якщо n = 2n (парне), те x = p /2 + p n, якщо n = 2n + l (непарне), те x = p n Відповідь: x1 = p n, n I Z; x2 = p /4 + (-I) n • p /4 + p n, n I Z 4. Спосіб підстановки Приклад 1.2 sin 2 x = 3cosx Рішення. 2sin 2 x - 3cosx = 0; 2 (l - cos 2 x) - 3cosx = 0; 2cos 2 x + 3cosx - 2 = 0 Нехай z = cosx, |z| ? 1.2z 2 + 32z - 2=0 Д = 9+16 = 25; O Д = 5; z1 = (-3 + 5)/4 = 1/2; z2 = (- 3-5)/ 4 = -2 - -не задовольняють умові для z. Тоді вирішимо одне найпростіше рівняння: cosx = 1/2; х = ± p /3 + 2 p n, n I Z. Відповідь: х = ± p /3 + 2 p n, n I Z 5. Однорідні рівняння Однорідні тригонометричні рівняння мають такий вид: a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0 (однорідне рівняння 2-й ступеня) або a sin 3 x + b sin 2 x cosx + c sinx cos 2 x + d sin 3 x = 0 і т.д У цих рівняннях sinx ? 0, cosx ? 0. Вирішуються вони розподілом обох частин рівняння на sin 2 x або на cos 2 x і приводяться до рівнянь відносно tgx або ctgx Приклад 1. O 3sin 2 2x - 2sin4x + O 3cos 2 2x = 0 Рішення. Розкладемо sin4x по формулі синуса подвійного кута Одержимо рівняння O 3sin 2 2x - 4sin2xcos2x + O 3cos 2 2x = 0 Розділимо на cos 2 2x. Рівняння прийме вид O 3 tg 2 2x - 4tg2x + O 3 = 0 Нехай z = tg2x, тоді O 3z 2 - 4z + O 3 = 0; Д = 4; O Д = 2 z1 = (4 +2)/2 O 3 = 6/2 O 3 = O 3; z2 = (4 - 2)/2 O 3 = 1/ O 3 tg2x = O 3 або tg2x = 1/ O 3 2x = p /3 + p n, n I Z; 2x = p /6 + p n, n I Z; x1 = p /6 + p n/2, n I Z ; x2 = p /12 + p n/2, n I z Відповідь: x1 = p /6 + p n/2, n I Z ; x2 = p /12 + p n/2, n I z 6. Рівняння виду a sinx + b cosx = з Приклад 1.3sinx + 4cosx = 5 Рішення.

Розділимо обидві частини рівняння на 5, тоді 3/5sinx + 4/5cosx = 1 sin j = 4/5; cos j = 3/5; sin(x+ j ) = 1, x + j = p /2 + 2 p n, n I Z Відповідь: x = p /2 - arcsin 4/5 + 2 p n, n I Z 7. Раціональний^-раціональні-раціональні-дрібно-раціональні тригонометричні рівняння Рівняння, що містять тригонометричні дроби, називаються раціональними-дрібно-раціональними рівняннями. У цих рівняннях потрібно стежити за областю припустимих значень Приклад 1.1/( O 3-tgx) - 1/( O 3 +tgx) = sin2x Рішення. Область припустимих значень рішень цього рівняння tgx ? ± O 3, х ? ± p /8 + p n, n I Z і х ? ± p /2 + p n, n I Z Ліву частину рівняння приведемо до загального знаменника, а праву перетворимо за допомогою формули вираження синуса кута через тангенс половинного кута ( O 3 + tgx - O 3 + tgx)/3 - tg 2 x = 2tgx/ (1 + tg 2 x); 2tgx / (3 - tg 2 x) = 2tgx/(1 + tg 2 x) x1 = p n, n I Z Друге рівняння має вигляд 2tg 2 x - 2 = 0; tg 2 x = 1; tgx = ±1; x2 = ± p /4 + p n, n I Z Відповідь: x1 = p n, n I Z; х2 = ± p /4 + p n, n I Z 8. Ірраціональні тригонометричні рівняння


Смотрите также:




Категории: Сочинения на свободную тему

Комментарии: 0

Комментарии закрыты.