Помощь школьнику

Перпендикулярность прямых в пространстве

Перпендикулярность прямых в пространстве Две прямые называются перпендикулярными в пространстве, если угол между ними равен 90 . Лемма ( о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой ): Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. Прямая называется перпендикулярной плоскости , если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следующие теоремы (прямая и обратная) выражают связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости. Если две параллельные прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны. Теорема ( признак перпендикулярности прямой и плоскости ): если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство (по Атанасяну ): пусть , и пересекаются в точке М. Докажем, что . Покажем, что перпендикулярна к произвольной прямой , принадлежащей . 1 случай: Проведём чрез точку М прямую , параллельную . На прямой отметим точки А и В так, чтобы .

Проведём в плоскости прямую, пересекающую прямые в точках соответственно. Предположим, что т. лежит между точками и . Так как прямые и - серединные перпендикуляры к отрезку , то и . Следовательно, треугольники по трём сторонам. по двум сторона и углу между ними.

Отсюда , - равнобедренный. - его медиана, а значит и высота, т. е. , . Значит прямая перпендикулярна плоскости . 2 случай: Проведём прямую , параллельную через точку М. По лемме , следовательно, . Отсюда .

Теорема ( о прямой, перпендикулярной плоскости ) Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.


Смотрите также:




Категории: Сочинения на свободную тему

Комментарии: 0

Комментарии закрыты.