Помощь школьнику

Математичні ігри й головоломки

Математичні ігри й головоломки дуже популярні, як, втім, і всі ігри. І далеко не завжди більше складна гра - більше цікава. Часто мільйони людей з незгасним інтересом грають у найпростіші ігри, і саме ці ігри найбільше цінують, саме вони входять в історію математики й прославляють своїх творців Найбільш наближеними до математики є головоломки, але багато головоломок утворилося з колись існуючих (а деякі із ще існуючих) ігор. Більшість таких основних ігор було придумано давньогрецькими математиками Останнім часом математичним іграм увага приділяється, в основному, для знаходження виграшних стратегій, на що сильно вплинуло поширення програмування: скласти алгоритм, по якому в гру зміг би грати комп'ютер, часто буває складніше й цікавіше, ніж самому навчитися грати в неї, при цьому глибше вникаєш у суть гри, після чого виграти в неї можеш уже практично будь-якого Гри Найпростіші математичні ігри часто використовують як завдання, у яких потрібно знайти виграшну стратегію, або одне положення перевести в інше.

Іноді завдання бувають досить простими, коли вони вирішуються відомими методами, такими як інваріант і розфарбування, але є й досить прості, але дотепер недозволені завдання, пов'язані з математичними іграми Прикладом може бути популярна гра хрестики-нулики на нескінченному полі (рендзю). Вона, як відомо, при правильній стратегії обох гравців нескінченна, але виграшну стратегію при цьому ніхто не знає. У цей час придумано безліч алгоритмів цієї гри, заснованих, насамперед, на переборі різних варіантів і аналізі гри на наступні кілька ходів, які дуже близькі до виграшної стратегії, але лише при їхній реалізації на комп'ютері - людин же їм випливати практично не може. Існують найпростіші прийоми цієї гри, якими користуються гравці, але вирішальної найчастіше буває уважність Гра їм і інші аналогічні ігри Існує кілька ігор, у яких двоє граючих A і B , керуючись певними правилами, по черзі виймають те або інше число фішок з однієї або декількох купок - перемагає той, хто бере останню фішку.

Найпростіша така гра - це гра з однією купкою фішок, і зробити хід у ній - значить взяти з купки будь-яке число фішок від 1 до m включно. Багато подібних ігор піддаються дослідженню за допомогою числа Шпрага-Гранди G(C) . Порожньої позиції O , не утримуючих фішок, відповідає G(O)= 0. Комбінацію купок, що складаються відповідно з x, y, ... фішок, позначимо C=(x, y, ...) і припустимо, що припустимі ходи перекладають C в інші комбінації: D, E, ... Тоді G(C) є найменше ненегативне число, відмінне від G(D), G(E), ... Це дозволяє по індукції визначити G(C) для будь-якої комбінації C , дозволеної правилами гри. Так, у згаданому завданні G(x)=x mod (m+1). Якщо G(C)>0 , то гравець, що робить наступний хід, допустимо, це гравець A , може забезпечити собі виграш, якщо йому вдасться перейти до “безпечного” комбінації S з G(S)=0 . Дійсно, по визначенню G(S) у цьому випадку або S - порожня позиція, і тоді A уже виграв, або B наступним ходом повинен перейти до “небезпечного” позиції U з G(U)>0 - і тоді все повторюється знову. Така гра після кінцевого числа ходів закінчується перемогою A. До подібним до ігор ставиться їм . Є довільне число купок фішок, і гравці по черзі вибирають одну якусь купку й виймають із її будь-яке число фішок (але хоча б одну обов'язково) Більше загальний випадок представляє гра Мура , що також можна назвати k-k- їм. Правила її ті ж, що й у звичайному ниме ( 1-їм), але тут дозволяється бать фішки з будь-якої кількості купок, не переважаючого k. Ще одна подібна гра - Кеглі . У ній фішки розкладені в ряд, і при кожному ході вбирається одна яка-небудь фішка або дві сусідні. При цьому ряд може розбитися на два менших ряди. Виграє той, хто візьме останню фішку.

Узагальнена варіація цієї гри відома під ім'ям гри Витхоффа . Є цікава варіація гри їм за назвою “зоряний їм” . Вона досить проста, але стратегія в ній видна не відразу. Грають у цю гру на зіркоподібній фігурі, зображеної на мал. 1, ліворуч. Поставте по одній фішці на кожну з дев'яти вершин зірки. Гравці A і B роблять ходи по черзі, знімаючи при кожному ході або одну, або дві фішки, з'єднані відрізком прямої. Той, хто знімає останню фішку виграє У гравця B при грі в зоряний їм є виграшна стратегія, що використовує симетрію ігрової дошки (взагалі, виграшні стратегії багатьох математичних ігор будуються на цьому).

Представимо, що відрізки прямих, що з'єднують вершини зірки, - це нитки. Тоді всю конфігурацію можна розгорнути в окружність, топологически еквівалентну нитяній зірці. Якщо A знімає з окружності одну фішку, то B знімає дві фішки із протилежної ділянки окружності. Якщо A бере дві фішки, то B знімає із протилежної ділянки окружності одну фішку. В обох випадках на окружності залишаються дві групи із трьох фішок.

Яку би фішку (або які би фішки) не взяв A з однієї групи, B бере відповідну фішку (або фішки) з іншої групи. Ясно, що остання фішка дістанеться гравцеві B. Інші математичні ігри Наприкінці 60-х років Дж. Леутуейт із шотландського міста Терсо винайшов чудову гру з мистецьки схованою стратегією “парних ходів”, що забезпечує другому гравцеві відомий виграш. На дошці розміром 5*5 квадратних кліток у шаховому порядку розставлені 13 чорних і 12 білих фішок, після чого кожна із чорних фішок, наприклад, що коштує на центральному полі, знімається (мал. 2, ліворуч) Гравець A ходить білими фішками, гравець B - чорними. Ходи робляться по вертикалі й горизонталі.

Що проиграли вважається той із гравців, хто першим не зможе зробити черговий хід. Якщо дошку розфарбувати подібно шахівниці, то стане ясно, що кожна фішка зі свого поля переходить на поле іншого кольору й що ні одну фішку не можна змусити ходити двічі. Отже, гра для кожного гравця не може тривати більше 12 ходів. Але вона може окончиться й раніше виграшем для будь-якого гравця, якщо тільки B не буде дотримуватися раціональної стратегії Раціональна стратегія для гравця В полягає в тому, щоб подумки уявити собі всю матрицю (за винятком порожньої клітки), покриту дванадцятьома костями, що не перекриваються, доміно. Як саме вони розкладені на дошці, не має значення.

На мал. 2, праворуч показаний один зі способів покриття дошки костями доміно. Який би хід не зробив гравець А, У просто робить хід на ту кістку доміно, що тільки що покинув А. При такій стратегії в У завжди є хід після чергового ходу А, тому У свідомо виграє за 12 або за менше число ходів У гру Леутуейта можна грати не тільки фішками на дошці, але й квадратними плитками або кубиками, що пересуваються усередині плоскої коробочки, на дні якої накреслена матриця. Припустимо тепер, що в правила гри внесена виправлення, що дозволяє будь-якому гравцеві в будь-який час ходити будь-яким числом (від 1 до 4) фішок, що коштують на одній горизонталі або вертикалі, якщо перша й остання фішки в обраній їм горизонталі або вертикалі “його” кольору.

Перед нами чудовий приклад того, як тривіальне (на перший погляд) зміна правила приводить до різкого ускладнення аналізу гри. Леутуейту не вдалося знайти виграшну стратегію ні для одного із гравців у цьому варіанті гри Більшість ігор, розглянутих нами, мали виграшну стратегію, але це не виходить, що практично у всіх подібних ігор вона існує. Є безліч ігор, виграшну стратегію в які на сьогоднішній день ще не винайшли, а є багато й таких, у яких такий взагалі немає Головоломки Математичні головоломки бувають самі різні: обертальні (кубик Рубика), “Чарівні кільця”, “Гри з діркою” (пятнашки), ґратчасті й багато хто інші. Ми розглянемо лише деякі з них Обертальні головоломки Обертальними називаються головоломки, суть яких полягає в поворотах рядів кубиків (і не тільки кубиків), з яких вони складаються


Смотрите также:




Категории: Сочинения на свободную тему

Комментарии: 0

Комментарии закрыты.