Помощь школьнику

Історичне порівняння евклідової геометрії з його сучасниками

У даному рефераті вашій увазі буде представлене історичне порівняння евклідової геометрії з його сучасниками. Що розробили на основі критики його геометрії, більше доконані свої теорії в області геометрії. Інформація буде представлена у вигляді короткого огляду діяльності видатних математиків. Евклид його книга “Початку” (планіметрія й стереометрія), що була протягом багатьох століть змістом шкільного курсу геометрії, і послужила приводом для створення нових теорій в області геометрії. Слід зазначити, що геометри протягом двох тисяч років, ставлячись до “Початків” Евклида з більшою повагою, піддавали їхній критиці, указували на ті або інші недоліки й рекомендували способи “очищення Евклида від плям”, саме в такій критиці народжувалися нові ідеї й наробітки в області геометрії, про це також буде представлений матеріал вреферате.

Буде представлена праця Лобачевского, що поставили питання про дослідження всієї структури системи аксіом, як евклідової геометрії, так і інших, виниклих до цього часу. І займався з'ясуванням незалежності цих аксіом друг від друга Буде згадане ім'я такого математика як Мариц Паша, що розробив “Лекцію про нову геометрію” (1882), і виробив у ній нову систему аксіом тривимірного евклідового простору, що більш повно викладена, чим система самого Евклида. Евклид Евклид ( 365-ок 300 до н.е) працював в Олександрії при Птолемее I і очолював заснований у той час найбільший науковий центр стародавності - олександрійський Музей. “Початку” Евклида являють собою обробку ряду грецьких творів IV в. до н.е. - “Почав”, приписуваних Гіппократові Хиосскому ( I-IV і XI книги), арифметичних творів піфагорійців ( VIII-IX книги), творів Евдокса про теорію відносин і подобі, і про метод исчерпивания. Його книзі “Початкам” подані 23 визначення, багато хто з яких носять сліди древніх традицій. Привівши традиційні визначення крапки, лінії й поверхні, а також прямої лінії й площини, Евклид приводить визначення плоскої фігури, кута, трикутника, кола і його частин і дає класифікацію трикутників і чотирикутників.

Про традиційність цих визначень свідчить те, що Евклид дає визначення ромба й “ромбомоида” (паралелограма, що не є ромбом), яким він ніде не користується, а в тексті Евклид застосовує тільки термін “паралелограм”. В останнім визначенні дається визначення паралельних ліній Далі треба п'ять постулатів (допущень). Перші три постулати Евклида - аксіоми геометричних побудов за допомогою ідеальної лінійки й ідеального циркуля Книги Евклида складаються з “речень” - теорем і завдань на побудову, виклад теорем.

В 1-ой книзі доводяться основні теореми планіметрії до теореми Пифагора й зворотної їй. Евклид у своїх доказах намагається уникати руху й накладення; накладенням він користується тільки в теоремі про рівність трикутника, а далі посилається на ці теореми. В 2-й книзі викладені геометрична алгебра й, зокрема, вирішені завдання, рівносильні рішенню квадратного рівняння, і завдання про квадратуру прямокутника. В 3-їй книзі викладена геометрія окружності, в 4-ой - побудову правильних багатокутників, в 5 -ой книзі - теорія відносин геометричних величин. Далі, у наступних книгах викладена також; теорія подоби, основи стереометрії, теореми про обсяги пірамід і про відношення кіл і круглих тіл, засновані “на методі исчерпивания”, що грав у стародавніх греків роль нашої теорії меж, побудова правильних багатогранників Критика геометрів ставилася до п'ятого постулату, значно більше складному, чим всі інші, котрий намагалися довести як теорему.

Доводячи цей постулат від противного, математики знайшли багато наслідків, які мали б місце при відмові від цього постулату Лобачевский Тільки в XIX столітті Н.И. Лобачевский і інші математики прийшли до думки, що ці наслідки утворять несуперечливу геометрію, що ми в цей час називаємо геометрією Лобачевского, і 5-й постулат не залежить від інших аксіом геометрії Евклида. Критика теорії відносин Евклида, що у нього була відірвана від теорії числових відносин, складалася в реченні об'єднати ці дві теорії в єдину теорію, для чого випливало розглядати геометричні величини як числа нового типу, ми в цей час називаємо ці числа дійсними, або речовинними (Евклид знав тільки натуральні числа). Також зазнавало критики прагнення Евклида уникати руху й накладення, до якого призивав Аристотель, ця установка Евклида критикувалася багатьма наступними геометрами, які у своїх працях користувалися рухом. Але все-таки, Евклид подекуди застосовував рух, випливаючи за своїми попередниками Створення й розробка геометрії Лобачевского порушили питання про дослідження всієї структури системи аксіом як евклідової геометрії, так і інших виниклих до цього часу геометрий і з'ясування незалежності цих аксіом друг від друга Мориц Паш Першим таке завдання поставив Мориц Паш. У його “Лекціях про нову геометрію” була вироблена нова система аксіом тривимірного евклидова простору Випливаючи за древніми Паш формулює свої аксіоми не для нескінченних прямих і площин, а для прямолінійних відрізків і шматків площин. Спочатку він формулює 9 лінійних, 4 плоскі й просторову аксіоми.

У перших лінійних аксіомах своєї системи Паш вимагає, щоб між двома крапками завжди можна було провести прямолінійний відрізок і притім тільки один, щоб завжди задавати крапку, що лежить усередині даного прямолінійного відрізка Плоскі й просторові аксіоми Паша - три плоскі аксіоми сполучення, одна просторова аксіома сполучення й одна плоска аксіома порядку. У перших трьох з них потрібно, щоб через три довільні крапки можна було провести площину, щоб якщо через дві крапки площини проведений прямолінійний відрізок, то існувала б площина, що містить всі крапки цієї площини й відрізок, і щоб для двох площин Р и Р', що мають загальну крапку, можна було б задати ще одну крапку, що лежить в одній площині, з усіма крапками P або P'. Після обговорення аксіом сполучення й порядку Паш приводить 10 аксіом, у яких бере участь конгруентність фігур Слід зазначити, що найбільш важливим нововведенням Паша були аксіоми порядку, особливо 4-ая аксіома другої групи, що у цей час називають “аксіомою Паша”. Система аксіом Паша зайво ускладнений тим, що замість прямих і площин він розглядає тільки прямолінійні відрізки й шматки площин, його аксіоми досить тяжеловесни й не вичерпують всіх необхідних аксіом ВИСНОВОК Зміст і основа вищевикладених положень частини теорій має велике практичне значення й у наш час, широко застосовуючись в області наукомістких і високотехнологичних виробництв. Також можна відзначити, що ці навчання й наробітки в області геометрії багато в чому послужили бурхливому розвитку математики в перші століття нашої ери (Евклидова геометрія). Що, у свою чергу, послужило подальшому розгортанню й розвитку науково-технічного прогресу. І привело до створення цілих напрямків в області геометрії (XIX в), які займалися й займаються в наш час різними дослідженнями в даній області На закінчення хотілося б сказати, що саме критика Евклідової геометрії його теорій і припущень виявила миру імена нових видатних математиків, також внесших великий внесок у світову науку й безперечно вела до вдосконалювання як самої геометрії, так і інших наук.

И сприяла її формуванню до образа тої геометрії, що вивчається й використовується зараз, що увібрала в себе кращі дослідження й теорії в цій області останніх століть Список використаної літератури: 1. Евклид. Початку. Пре. І коммент. Д.Д. Мордухай - Болтовского. М. - Л., т. 1 -3, 1948 - 1950. 2. Гильберт Д. Підстави геометрії.

Пер. И.С. Градштейна. М. - Л., 1948г.


Смотрите также:




Категории: Сочинения на свободную тему

Комментарии: 0

Комментарии закрыты.