Помощь школьнику

Ферма

У працях древніх, з їхнім культом креслення, ми знаходимо дивно мало досліджень по теорії чисел. Евклид відзначає деякі правила подільності й доводить нескінченність безлічі простих чисел. Можна також пригадати cribrum Eratosthenis (решето ератосфена) - метод виділення простих чисел з натурального ряду. От, мабуть, і все. Особняком коштують твору Диофанта (III століття до н.е.) , що розглядав завдання про подання чисел і вирішував неозначені рівняння в цілих числах.

Із тринадцяти книг його “Арифметики” до наших днів дійшло лише шість. У Європі переклади творів Диофанта на латинський і французьку мови з'явилися лише на початку XVII в. Баше де Мезириак в 1621 р. видав переклад “Арифметики” із власними докладними коментарями й доповненнями. Саме це видання, попавшись у руки Ферма, зіграє видатну роль в історії математики Ферма внимательнейшим образом штудирует “Арифметику” і поміщає на полях книги 46 зауважень до тексту. Крім цих позначок, положення з теорії чисел (в основному без доказів) розсіяні в листах Ферма. Цього цілком вистачило для виникнення нового напрямку в математику. Після смерті Ферма його син Самюель видав в 1670 р. приналежному батькові екземпляр “Арифметики” за назвою “Шість книг арифметики александрийца Диофанта з коментарями Л. Г. Баше й зауваженнями П. де Ферма, тулузского сенатора” .

У книгу були включені також деякий листи Декарта й повний текст твору Жака де Бильи “Нове відкриття в мистецтві аналізу” , написане на основі листів Ферма. Видання мало неймовірний успіх. Перед здивованими фахівцями відкрився небачений яскравий мир. Несподіванка, а головне доступність, демократичність теоретико-числових результатів Ферма породили масу наслідувань.

У той час мало хто розумів як обчислюється площа параболи, але кожний школяр міг усвідомити формулювання Великої теореми Ферма. Почалося теперішнє полювання за невідомими й загубленими листами вченого. До кінця XVII в. було видано й перевидане кожне знайдене його слово.

Але бурхлива історія розвитку ідей Ферма тільки починалася У наслідку Ферма пояснить своє захоплення числами в листі англійським математикам Дигби й Броункеру. Цей лист має спеціальний підзаголовок: “Другий виклик Ферма математикам” . Ферма пише: “Навряд чи хто-небудь може запропонувати або навіть зрозуміти чисто арифметичні завдання.

Тому що хіба Арифметика не тлумачилася скоріше геометрично, чим арифметично. Це підтверджує більшість праць древніх і нових авторів; підтверджують це й праці самого Диофанта. Він трохи більше інших віддалився від геометрії, коли почав викладати Аналітикові в раціональних числах; однак і ця частина не зовсім позбавлена геометрії, що цілком довели книги Виета “Зететика” , де метод Диофанта переноситься на безперервні величини, а виходить, і на геометрію....

Лише я, немов идущий спереду факелоносец, пропоную вам для доказу або побудови наступну теорему або завдання. Якщо ви її вирішите, то зрозумієте, що завдання такого роду ні тонкістю, ні труднощами, ні способом доказу не уступають славнозвісним проблемам геометрії” Що ж шукав і що відкрив Пьер Ферма, займаючись числами? Ризикнемо припустити, що найбільше Ферма цікавили способи побудови простих чисел.

Він мріяв знайти явну формулу, що дозволяє швидко обчислювати як завгодно більші прості числа. На полях “Арифметики” він висловив припущення, що таким “генератором” простих чисел буде формула , n = 0,1,2,... Дійсно, при n = 0,1,2,3,4 одержуємо прості числа 3,5,17,257,65537. Ферма думав, що при всіх інших n числа F (n) - прості, і неодноразово пропонував своїм кореспондентам довести цей результат Знадобилося сто років, щоб Леонард ейлер в 1733 р. спростував твердження Ферма.

Це відбулося з подачі Християна Гольдбаха, що в 1729 р. писав находившемуся в Петербурзі ейлеру: “ чиВідомо тобі зауваження Ферма про те, що всі числа виду саме 3,5,17 і т.д.. суть прості, причому сам він, по його визнанню, не зміг цього довести й, наскільки я знаю, після нього ніхто не довів” . ейлер пари років подумав і показав, що вже при n = 5 число F (5) ділиться на 641: Для одержання цього результату ейлеру довелося випробувати 160 дільників. Складовими виявилися й багато інших чисел Ферма (при n =6,7,8,9,10,11,12,15,16,18,23,36,38,73) . Найбільше з відомих у даний момент складених чисел Ферма F (452) складається з 10 135 цифр і ділиться на 27Ч 2 455 +1 (показане за допомогою ЕОМ) . Справедливості заради варто підкреслити, що Ферма, уважаючи числа F ( n ) простими, ніколи не затверджував, що має у своєму розпорядженні доказ цього факту.

З іншої сторони до теперішнього часу відомо стільки ж простих чисел Ферма, скільки їх знали в часи Ферма, а саме: 3,5,17,257,65537 Отже, Ферма помилявся. Його формула робила в основному складові, а не прості числа. Однак, ідея “генерування” простих чисел була сприйнята з ентузіазмом. Усе той же аж ніяк не легковажний ейлер запропонував багаточлен x 2 - x +41, що при всіх цілих x від 0 до 40 дає тільки прості числа. ейлер не полінувався проробити ці обчислення, хоча прекрасно знав, що багаточлен із цілими коефіцієнтами не може при всіх натуральних значеннях аргументу приймати тільки прості значення. Сьогодні, незважаючи на зусилля сотень професіоналів і тисяч дилетантів, ми як і раніше не вміємо обчислювати як завгодно більші прості числа, хоча знаємо масу нюансів про їхній розподіл.

Один із самих яскравих результатів цієї області належить академікові Пафнутію Львовичу Чебишеву (1850) : число простих чисел не переважаючих n приблизно дорівнює при n ® Ґ Ферма помилився, але Ферма був би не Ферма, якби дозволив хоч одній своїй теоремі безславно канути в лету. “Прокляті числа як перевертні” вилазили в самих далекі від теорії чисел дослідженнях. В 1796 р. 19-літній студент Геттингенского університету Карл Фрідріх Гаусс зробив сенсацію, довівши теорему: правильний багатокутник може бути побудований за допомогою циркуля й лінійки тоді й тільки тоді, коли число його сторін дорівнює 2 a p 1 p 2 ... p b , де всі прості числа p i є числами Ферма, тобто мають вигляд. Те була помста Ферма пихатим геометрам. Теорема Гаусса підвела риску під багатовіковими суперечками щодо можливості побудови правильних багатокутників і заощадила масу часу аматорам математики.

Із цієї теореми треба, що можна побудувати правильні 3-3-, 5-, 17-, 257-, 65537- і інші багатокутники й не можна побудувати, наприклад, правильні 7-7-, 11-, 13- косинці. Для невіруючих Гаусс не полінувався побудувати правильний 17-косинець Займаючись таємницями простих чисел Ферма сформулював багато положень про представимости чисел квадратичними формами. Наприклад, він виявив наступні дивно прості й глибокі закономірності: 1. Формою x 2 + y 2 представими всі прості числа, які лежать у прогресії 4 n +1, причому кожне з них представимо цією формою єдиним образом. Жодне просте число із прогресії 4 n +3 не представимо суммою двох квадратів 2. Формою x 2 +2y 2 представими всі прості числа, що лежать у прогресіях 8 n +1 і 8 n +3. Жодне просте число із прогресій 8 n +5 і 8 n +7 не представимо у вигляді x 2 +2 y 2 3. Формою x 2 -2y 2 представими всі прості числа, що лежать у прогресіях 8 n +1 і 8 n +7. Жодне просте число із прогресій 8 n +5 і 8 n +3 не представимо у вигляді x 2 -2 y 2 4. Формами x 2 +3y 2 і x 2 + xy + y 2 представими всі прості числа, що лежать у прогресії 3 n +1. Жодне просте число із прогресії 3 n +2 не представимо зазначеними формами Ферма залишив украй мало пояснень, що дають можливість установити, як йому вдалося одержати ці найвищою мірою загальні результати. Лише перед смертю в листі до де Каркави Ферма частково обґрунтував положення (1) за допомогою свого методу нескінченного спуска. Можна лише пошкодувати сучасників Ферма, які регулярно одержували варіації на тему тверджень (1) - (4) як завдання.

Перші повні докази цих тверджень удалося одержати лише ейлеру. Попутно він сформулював дуже важливу теорему про подільність - так званий квадратичний закон взаємності, доказ якого дав Гаусс. Через захоплення квадратичними формами пройшли Лагранж, Лежандр, Чебишев, а в наше століття - Вейль, Артин і багато інших блискучих математиків. Як завжди ідеї Ферма виявилися надзвичайно плідні в змісті побудови далеко, що йдуть узагальнень, і формування нових понять. Добра половина термінів сучасної абстрактної алгебри виникла зі спроб довести твердження Ферма


Смотрите также:




Категории: Сочинения на свободную тему

Комментарии: 0

Комментарии закрыты.