Помощь школьнику

23 математичні проблеми

На початку 1888 року Гильберт уживає ще одна математична подорож, його маршрут включає відвідування 21 видного математика. Оскільки в той час основною спеціальністю Глиберта була теорія інваріантів, те першою справою він направляється в ерланген, щоб зустріти зі знаменитим “королем інваріантів“- Паулем Горданом Пауль Гордан яскраво виділявся своєю особистістю серед математиків того часу. Будучи на двадцять років старше Гильберта, він досить пізно зайнявся наукою. Великою удачею для Гордона було те, що час його перших занять теорією інваріантів збіглося з початком нового етапу в ній. Перші роки її розвитку були присвячені дослідженню загальних законів, яким підкоряються інваріанти; на наступному етапі почалася методична побудова й класифікація інваріантів, що й послужило їжею для Гордана. На початку своєї кар'єри він зробив перший прорив у знаменитій проблемі інваріантів. За це йому й привласнили титул короля інваріантів. Загальна проблема, усе ще не вирішена й ставшая самої знаменитої в цій теорії, була названа в його честь «Проблемою Гордана» «Проблемою Гордана» була зовсім не схожа на завдання типу “знайти x” , з яких починалася алгебра багато століть назад.

Це була абстрактна, чисто математична проблема, викликана не навколишньому нас фізичним миром, а розвитком самої математики. До цього часу стала відома внутрішня структура всіх інваріантних форм. Існував метод, що дозволяв, принаймні в принципі, виписати всі різні інваріантні форми заданого ступеня від заданого числа невідомих. Нова проблема мала зовсім інший характер, тому що ставилася до безлічі всіх інваріантів. Чи існує базис, тобто кінцева система інваріантів, через які раціонально або поліномінально виражається будь-який інший з нескінченного числа інваріантів Видатним досягненням Гордана з'явився його доказ, рівно за 20 років до зустрічі з Гильбертом, існування кінцевого базису для бінарних форм, найпростіших із всіх алгебраїчних форм. Характерно, що воно було засновано на обчисленнях і використовувало структуру деяких елементарних операцій, за допомогою яких виходили інваріанти.

У подальші 20 років, незважаючи на зусилля багатьох видних математиків, проблема не зрушилася з мертвої крапки Гильберт уже був якийсь час знаком із проблемою Гордана; однак тепер, слухаючи самого Гордана, йому здавалося, що він відчув її набагато глибше, ніж раніше. Проблема зайняла його уяву майже з надприродною силою Тут було наявною проблема, що володіє всіма рисами великої глибокої проблеми, до яких Гильберт зараховував наступні: Ясна й розумі_ легко («тому що, у той час як ясне й простої залучає, складне відштовхує» ) Важка («щоб нас залучати» ) і в той же час не повністю недоступна («щоб не зробити безнадійними нашого зусилля» ) Важлива («дороговказна зірка на звивистих тропах до прихованих істин» ) Думки про цю проблему не залишали Гильберта під час усього його математичної подорожі. Удома, у Кенігсберзі, ці думки не залишали його ні під час роботи, ні на відпочинку, ні навіть на танцях, які він так любив відвідувати. 6 вересня 1888 року Гильберт послав коротку замітку в журнал Геттингенского наукового суспільства. У цій замітці він дав начерк зовсім несподіваного й оригінального способу доказу теореми Гордана, придатного одночасно для форм від будь-якого числа невідомих.

Ця робота була першим прикладом риси, характерної для мислення Гильберта, - “природна наївність думки, що не спочиває на авторитеті або попередньому досвіді” , як виразився пізніше один з його учнів. Незабаром після опублікування повного доказу теореми знаменитий «король інваріантів» Гордан здивований викликнув: “Це не математика. Це теологія” Рішення Гильберта не було конструктивним, воно лише доводило існування базису, але не давало явної конструкції для його побудови. У наступні два роки Гильберт не залишає проблему Гордана, намагаючись дати їй конструктивний доказ. Нарешті в 1892 році йому вдалося запропонувати метод, що дозволяє, по суті, за кінцеве число кроків одержати шукану конструкцію Хоча Гильберт не був першим, хто використовував непрямі, не конструктивні докази, він був першим, хто усвідомив їхнє глибоке значення й силу, а також зміг скористатися ними в драматичні й надзвичайно гарних ситуаціях При рішенні проблеми Гордана Гильберт знайшов себе й свій метод атаки знаменитої проблеми, рішення якої за своїм значенням набагато перевершувало саму проблему. Уперше трапилося щось доконане несподіване.

Спочатку проблема була вирішена, а її рішення повністю звільнило його від її У висновку своєї роботи з теорії інваріантів він писав: “Тим самим мені здається що найважливіші цілі теорії функціональних полів інваріантів досягнуті” . Поле цього Гильберг залишає теорію інваріантів Теорія чисел У наступні три роки Гильберт підвищувався в академічних рангах і робив те, що робить у цей період часу більшість молодих людей, - женився, став батьком, одержав важливе призначення. Поряд зі змінами в особистому житті й суспільному становищі, Гильберт почав проявляти й новий математичний інтерес.

“Відтепер я цілком присвячу себе теорії чисел” , - писав він своєму другові Минковскому незабаром після закінчення останньої роботи про інваріанти. Тепер він зайнявся цією новою областю Добре відомо, що Гаусс уважав теорію чисел вершиною науки. Він відгукнувся про неї як про “невичерпне джерело нових істин” . Гильберт ставився до теорії чисел як до “будинку рідкої краси й гармонії” .

Як і Гаусса, його залучала краса її фундаментальних законів, мала кількість визначень і чистота її істин; обоє вони рівною мірою були піднесені розходженням між очевидністю формулювань і “дивовижною” труднощами їхніх доказів У наступні роки Гильберт інтенсивно займається теорією чисел. Роблячи перші кроки йому вдалося знайти надзвичайно легкі й прості докази трансцендентності чисел e і pi, а також теорем про розкладання алгебраїчних чисел на прості ідеали. У той час германське математичне суспільство щорічно публікувало великі огляди в різних областях математики.

Черговий огляд по теорії чисел було вирішено доручити підготувати Гильберту й Минковскому. Гильберт із ретельністю приймається за нову й цікаву для нього роботу. Хоча дотепер він не харчував схильності до вивчення теорії по книгах, тепер він прочитав все видане по теорії чисел із часів Гаусса. Доказу всіх відомих теорем треба було обміркувати. Потім йому випливало відібрати з них ті, “ідеї яких піддаються узагальненню й найбільш перспективні для подальших досліджень” . Однак для цього необхідно було провести ці “подальші дослідження” .

Крім того, потрібно було усувати ті труднощі стилю й мислення попередніх дослідників, які ставили перешкоду для загального розуміння й визнання їхніх робіт. На проведення всіх цих великих робіт Гильберту знадобилося три роки (Минковский незабаром вибув з участі в цьому проекті) . Монументальний огляд Гильберта з'явився в 1896 році. Представлений Гильбертом праця в нескінченне число раз перевершував все те, на що могло розраховувати Суспільство.

Насправді його огляд являє собою перлину літератури. Заповнивши пробіли більшою кількістю своїх власних досліджень, Гильберт додав цієї теорії величну уніфіковану форму В 1895 році за запрошенням Клейна Гильберт приїжджає працювати в Геттингенский університет. Велика наукова традиція Геттінгена йде від Карла Фрідріха Гаусса, що все своє життя провів у цьому місті, залишивши свій слід у всіх областях чистої й прикладної математики.

Наприкінці життя, зайнявши в історії своєї науки місце поряд з Архімедом і Ньютоном, він завжди згадує свої перші роки в Геттінгені як щасливі роки. Гильберт приїхав у Геттінген через сто років після Гаусса, знаменитий університет одержав ще одного великого математика, що продовжив традицію За вісім з половиною років у Кенігсберзі Гильберт не повторив не одного предмета, “за одним невеликим виключенням” - одногодинного курсу по визначниках. Тепер у Геттінгені йому було легко вибирати теми своїх лекцій, погоджені з побажаннями Клейна. У першому семестрі він читав курси по теорії визначників і еліптичних функцій, а також разом із Клейном щоранку по середовищах вів семінар по дійсних функціях


Смотрите также:




Категории: Сочинения на свободную тему

Комментарии: 0

Комментарии закрыты.